Sobre el teorema de Gödel

Kurt Gödel (Fuente LIFE.Detalle)

Los crímenes de Oxford
Capítulo 7

Hay una diferencia entre la verdad y la parte de verdad que puede demostrarse: ése es en realidad un corolario de Tarski sobre el teorema de Gödel - dijo Seldom- . Por supuesto, los jueces, los forenses, los arqueólogos, sabían esto mucho antes que los matemáticos. Pensemos en cualquier crimen con sólo dos posibles sospechosos. Cualquiera de ellos sabe toda la verdad que interesa: yo fui o yo no fui. Pero la justicia no puede acceder directamente a esa verdad y tiene que recorrer un penoso camino indirecto para reunir pruebas: interrogatorios, coartadas, huellas digitales... Demasiadas veces las evidencias que se encuentran no alcanzan para probar ni la culpabilidad de uno ni la inocencia del otro. En el fondo, lo que mostró Gödel en 1930 con su teorema de incompletitud es que exactamente lo mismo ocurre en la matemática. El mecanismo de corroboración de la verdad que se remonta a Aristóteles y Euclides, la orgullosa maquinaria que a partir de afirmaciones verdaderas, de primeros principios irrebatibles, avanza por pasos estrictamente lógicos hacia la tesis, lo que llamamos, en una palabra, el método axiomático, puede ser a veces tan insuficiente como los criterios precarios de aproximación de la justicia - Seldom se detuvo sólo un momento para extender la mano hacia la mesa vecina en busca de una servilleta de papel. Pensé que se proponía escribir una de sus fórmulas allí pero simplemente se la pasó con un gesto rápido por el costado de la boca antes de seguir hablando- . Gödel mostró que aun en los niveles más elementales de la aritmética hay enunciados que no pueden ser ni demostrados ni refutados a partir de los axiomas, que están más allá del alcance de estos mecanismos formales, enunciados sobre los que ningún juez podría dictaminar su verdad o falsedad, su culpabilidad o inocencia. La primera vez que estudié el teorema no estaba todavía graduado, Eagleton era mi tutor formal, y lo que más me llamó la atención, una vez que logré entender y sobre todo aceptar lo que realmente decía el teorema, lo que me pareció sobre todo curioso fue que los matemáticos se hubieran manejado perfectamente, sin sobresaltos, durante tanto tiempo, con una intuición tan drásticamente equivocada. Más aún, casi todos creyeron al principio que era Gödel el que había cometido algún error y que pronto aparecería alguna grieta en su demostración; el propio Zermelo abandonó todos sus trabajos y dedicó dos años enteros de su vida a tratar de invalidarla. Esa fue la primera pregunta que me hice: ¿por qué los matemáticos no tropezaron durante siglos con ninguno de estos enunciados indecidibles, por qué también después de Gödel, ahora mismo, la matemática puede seguir su curso tranquilamente en todas las áreas?

Los crímenes de Oxford
(Crímenes imperceptibles)
Guillermo Martínez